美国留学哥大应用数学专业介绍

　　一、美国留学哥大应用数学专业

　　应用数学将数学概念和技术与科学和工程的各个领域联系起来。应用数学研究的目标不仅是智能地应用现有的数学工具和见解来解决科学问题，而且还要开发受应用启发和驱动的新颖而有用的数学。随着新的计算技术的出现，应用数学超越了传统的风格，呈现出更大的重要性和新的生命力。

　　虽然应用数学的跨学科性质对其在现代科学技术中的成功至关重要，但其独特的使命使其与所连接的领域不同。

　　与纯数学家相比，应用数学家对来自其他领域的问题更感兴趣。

　　与工程师和物理科学家相比，他更关心问题的提出和解决方案的性质。

　　与计算机科学家相比，他更关心近似值的准确性和结果的解释。

　　不用说，即使在这个专业化的时代，数学家、科学家和工程师的工作也经常重叠。就其本质而言，应用数学在这种相互作用中占据了中心位置。

　　二、美国留学哥大应用数学专业研究方向

　　应用数学专业的核心教师团队具有涵盖数学分析、偏微分方程、数值分析、应用概率、动力系统、多尺度建模、高性能科学计算以及光学和光子学应用的数值优化等方面的研究专长，材料科学、机器学习、数据科学、成像科学、生物学和气候建模等等。托普仕老师提醒大家，相关内容众多，可以咨询托普仕留学顾问

　　1、应用分析与偏微分方程

　　这一研究领域的重点是严格分析物理和工程中的确定性和随机偏微分方程的数学和数值。目前该领域的研究包括但不限于：

　　分析新型材料结构中的波传播，研究新型材料结构(如金属晶格和蜂窝结构)中拓扑保护态的出现以及连续和离散等有效模型之间的关系

　　发展对错位周期性介质和随机扰动介质缺陷模式的数学理解

　　设计有效的计算算法以模拟不同物理环境中的边缘状态，例如电子物理、光学和光子学

　　分析非线性介质中波传播的偏微分方程模型

　　非局部模型分析

　　PDE 逆问题的数学分析

　　2、用于学习和数据科学的数学和算法

　　该研究领域旨在发展数学理解以及有效的计算算法，以分析和学习高维数据集。该领域当前的研究课题包括，例如：

　　分析深度 ReLU 网络的逼近能力，尤其是它们减少维度灾难的能力，以及此类网络的训练行为

　　研究非局部深度神经网络的数学特性及其与现有机器学习非局部模型的联系

　　开发数据驱动的压缩感知方法，用于随机微分方程系统解的稀疏表示

　　分析不同损失函数(例如基于 Wasserstein 指标的损失函数)对深度神经网络训练结果的影响

　　开发和实施新的优化算法，例如随机梯度下降方法的变体和子采样高斯-牛顿方法，用于训练深度神经网络。

　　3、逆问题数学与成像

　　该研究领域侧重于新成像模式中出现的偏微分方程逆问题的理论和计算问题。目前该方向的研究课题包括：

　　开发具有内部数据的椭圆偏微分方程组的反系数问题的唯一性和稳定性理论

　　分析光声分子成像中动力学传输方程的数学逆问题

　　开发偏微分方程模型，用于复杂介质的定量光声成像，具有非线性物理特性，例如多光子吸收和二次谐波产生

　　为耦合双曲和椭圆偏微分方程的多物理逆问题开发唯一性和稳定性理论

　　研究逆问题和成像中的不确定性量化问题，其中不同类型的不完美信息可能对重构量产生重大影响

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